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[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值.
[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值.
admin
2019-04-05
67
问题
[2010年] 求函数f(x)=∫
1
x
2
(x
3
一t)e
-t
3
dt的单调区间与极值.
选项
答案
先正确求出y′及其驻点,然后利用命题1.4.2.2列表讨论,判断极值点并求出单调区间. 利用变限积分求导公式,由f(x)=x
2
∫
1
x
2
e
-t
2
dt-∫
1
x
2
te
-t
2
dt出得到 f′(x)=2x∫
1
x
2
e
-t
2
dt+x
2
e
-(x
2
)
2
.2x一x
2
e
(x
2
)
2
.2x,=2x∫
1
x
2
e
-t
2
dt. 令f′(x)=0得x=0,x=±1.于是f′(x)的符号及f(x)的单调性如下表所示: [*] 由此可见,f(x)在区间(一∞,一1]上单调减少,f(一1)=0是极小值,f(x)在区间[-1,0]上单调增加,f(0)=∫
0
1
te
-t
2
dt=一[*]是极大值,f(x)在区间[0,1]上单调减少,f(1)=0是极小值,f(x)在区间[1,+∞)上单调增加.
解析
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考研数学二
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