设A是m阶正定矩阵，B是m×n实矩阵，证明：BTAB正定r(B)=n．

admin2017-06-08 39

问题设A是m阶正定矩阵，B是m×n实矩阵，证明：B^TAB正定<=>r(B)=n．

选项

答案“=>”B^TAB是n阶正定矩阵，则r(B^TAB)=n，从而r(B)=n． “<=”显然B^TAB是实矩阵，并且(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，因此，B^TAB是实对称矩阵．因为r(B)=n，所以齐次线性方程组BX=0只有零解，即若X是n维非零实列向量，则BX≠0．再由A的正定性，得到X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)＞0．由定义知，B^TAB正定．

解析

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