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设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A,Mj(j=1,2,…,n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式,证明:如果Mj不全为0,则(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)T是该方程组的基础解系.
设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A,Mj(j=1,2,…,n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式,证明:如果Mj不全为0,则(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)T是该方程组的基础解系.
admin
2016-10-20
76
问题
设齐次线性方程组
的系数矩阵记为A,M
j
(j=1,2,…,n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式,证明:如果M
j
不全为0,则(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)
T
是该方程组的基础解系.
选项
答案
因为A是(n-1)×n矩阵,若M
j
不全为0,即A中有n-1阶子式非零,故r(A)=n-1.那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=1个非零向量所构成. [*] 按第一行展开,有D
i
=a
i1
M
21
-a
i2
M
2
+…+a
in
(-1)
1+n
M
n
. 又因D
i
中第一行与第i+1行相同,知D
i
=0.因而 a
i1
M
1
-a
i2
M
2
+…+a
in
(-1)
n-1
M
n
=0. 即(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)
T
满足第i个方程(i=1,2,…,n-1),从而它是Ax=0的非零解,也就是Ax=0的基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8gT4777K
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考研数学三
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