设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A,Mj(j=1,2,…,n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式,证明:如果Mj不全为0,则(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)T是该方程组的基础解系.

admin2016-10-20  58

问题 设齐次线性方程组

的系数矩阵记为A,Mj(j=1,2,…,n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式,证明:如果Mj不全为0,则(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)T是该方程组的基础解系.

选项

答案因为A是(n-1)×n矩阵,若Mj不全为0,即A中有n-1阶子式非零,故r(A)=n-1.那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=1个非零向量所构成. [*] 按第一行展开,有Di=ai1M21-ai2M2+…+ain(-1)1+nMn. 又因Di中第一行与第i+1行相同,知Di=0.因而 ai1M1-ai2M2+…+ain(-1)n-1Mn=0. 即(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)T满足第i个方程(i=1,2,…,n-1),从而它是Ax=0的非零解,也就是Ax=0的基础解系.

解析
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