已知连续函数f(x)满足f(x)－∫0xf(x－t)dt－dudv＝x2，其中D＝{(u，v)｜u2＋v2≤x2}(x≥0)，则f(x)＝________________．

admin2021-03-16 40

问题已知连续函数f(x)满足f(x)－∫₀^xf(x－t)dt－

dudv＝x²，其中D＝{(u，v)｜u²＋v²≤x²}(x≥0)，则f(x)＝________________．

选项

答案[*]

解析

两边求导得
f’(x)－f(x)－2∫₀^xf(u)du＝2x，
再求导得 f"(x)－f’(x)－2f(x)＝2，
特征方程为 λ²－λ－2＝0．
解得特征值为λ₁＝－1，λ₂＝2，
通解为f(x)＝C₁e^－x＋C₂e^2x－1，
由f(0)＝0，f’(0)＝0得

解得C₁＝

故f(x)＝

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