设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，χ1，χ2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：χ1+χ2不是A的特征向量．

admin2016-09-19 70

问题设A为n阶矩阵，λ₁和λ₂是A的两个不同的特征值，χ₁，χ₂是分别属于λ₁和λ₂的特征向量．证明：χ₁+χ₂不是A的特征向量．

选项

答案反证法假设χ₁+χ₂是A的特征向量，则存在数λ，使得A(χ₁+χ₂)=λ(χ₁+χ₂)，则 (λ－λ₁)χ₁+(λ－λ₂)χ₂=0．因为λ₁≠λ₂，所以χ₁，χ₂线性无关，则[*]=>λ₁=λ₂．矛盾．

解析

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