2. 考研
  3. 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0． 方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0． 方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

admin2015-07-22  71
问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0．
方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．
选项
答案因为Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1．又 Ф(0)=0，于是， Ф(x)=∫0xφ(t)dt．而 Ф(x+2π)=∫0x+2π φ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫0x+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt，所以，当 ∫02πφ(t)dt=0时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期．因此，当∫02πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学三

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