设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0．方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

admin2015-07-22 76

问题设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0．
方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

选项

答案因为Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫₀^xφ(t)dt+C₁．又 Ф(0)=0，于是， Ф(x)=∫₀^xφ(t)dt．而 Ф(x+2π)=∫₀^x+2π φ(t)dt=∫₀^xφ(t)dt+∫₀^x+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫₀^2πφ(t)dt，所以，当 ∫₀^2πφ(t)dt=0时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期．因此，当∫₀^2πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．

解析

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考研数学三

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