设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是( )

admin2017-01-21  51

问题 设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是(     )

选项 A、若u1>u2,则{un}必收敛
B、若u1>u2,则{un}必发散
C、若u1<u2,则{un}必收敛
D、若u1<u2,则{un}必发散

答案D

解析 本题依据函数f(x)的性质选取特殊的函数数列,判断数列{un=f(n)}的敛散性。
取f(x)=—lnx,f"(x)=>0,u1=—ln1=0>—ln2=u2,而f(n)=—lnn,发散,则可排除A;
收敛,则可排除B;
取f(x)=x2,f"(x)=2 >0,u1=1<4=u2,而f(n)=n2发散,则可排除C;故选D。
事实上,若u1<u2,则=f’(ξ1)>0。而对任意x∈(ξ1,+∞),由f"(x)>0,所以f’(x)>f’(ξ1)>ξ1∈(1,2)>0,对任意ξ2∈(ξ1,+∞),f(x)=f(ξ1)+f’(ξ2)(x—ξ1)→+∞(x→+∞)。故选D。
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