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试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,v=x+by,可将方程(其中z具有二阶连续偏导数),并求z=z(x+ay,x+by)。
试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,v=x+by,可将方程(其中z具有二阶连续偏导数),并求z=z(x+ay,x+by)。
admin
2017-01-14
49
问题
试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,v=x+by,可将方程
(其中z具有二阶连续偏导数),并求z=z(x+ay,x+by)。
选项
答案
因为z具有二阶连续偏导数,所以[*]。根据链式法则,有 [*] 代入所给方程得 [*] 按题意,应取 1-4a+3a
2
=0.1-4b+3b
2
=0, 即 (1-3a)(1-a)=0,(1-3b)(1-b)=0, 其解分别为 [*] 若取第一组解时,[*]的系数为0,不合题意。 同理,取第四组解时,[*]的系数也为0。 取[*],等式两边同时对配积分可得[*]=φ(x),其中φ(v)为v的任意可微函数。于是z=∫φ(v)dv+ψ(u)=Ф(v)+ψ(u),其中ψ(u)为u的任意的可微函数。 Ф(v)为φ(v)的一个原函数。 [*] 由于Ф与φ的任意性,所以两组解其实是一样的。
解析
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考研数学一
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