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[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．
[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．
admin
2019-05-10
59
问题
[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e
2x
的通解为________．
选项
答案
求出对应的齐次方程的通解及原方程的一个特解，其和即为所求的通解， 也可用凑导数法求之． 解一 其特征方程为λ
2
一4λ+3=0，其特征根为λ
1
=1，λ
2
=3．对应齐次微分方程 y＂一4y′+3y=0的通解为Y=C
1
e
x
+C
2
e
3x
． 又设非齐次微分方程y＂一4y′+3y=2e
2x
的特解为y
*
=Ae
2x
，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为 y=Y+y
*
=C
1
e
x
+C
2
e
3x
一2e
2x
， C
1
与C
2
为任意常数． 解二 原方程可化为 y＂一3y′一(y′一3y)=(y′一3y)′一(y′一3y)=2e
2x
． e
-x
(y′一3y)′+(e
-x
)′(y′一3y)一2e
x
， 即 [e
-x
(y′一3y)]′=2e
x
， 故 e
-x
(y′一3y)一2e
x
+C
0
， 即 y′一3y=2e
2x
+C
0
e
x
． 又 e
-3x
y′+(e
-3x
)′y=2e
-x
+C
0
e
-2x
， 即 (e
-3x
y)′=2e
-x
+C
0
e
-2x
， 故 e
-3x
y=一2e
-x
一(1／2)C
0
e
-2x
+C
2
， 所以其通解为y=一2e
2x
+C
1
e
x
+C
2
e
3x
，其中C
1
=一C
0
／2，C
2
为任意常数．
解析
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0
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