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  3. [2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．

[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．

admin2019-05-10  41
问题 [2007年]  二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．
选项
答案求出对应的齐次方程的通解及原方程的一个特解，其和即为所求的通解， 也可用凑导数法求之． 解一 其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程 y＂一4y′+3y=0的通解为Y=C1ex+C2e3x． 又设非齐次微分方程y＂一4y′+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为 y=Y+y*=C1ex+C2e3x一2e2x， C1与C2为任意常数． 解二 原方程可化为 y＂一3y′一(y′一3y)=(y′一3y)′一(y′一3y)=2e2x． e-x(y′一3y)′+(e-x)′(y′一3y)一2ex， 即 [e-x(y′一3y)]′=2ex， 故 e-x(y′一3y)一2ex+C0， 即 y′一3y=2e2x+C0ex． 又 e-3xy′+(e-3x)′y=2e-x+C0e-2x， 即 (e-3xy)′=2e-x+C0e-2x， 故 e-3xy=一2e-x一(1／2)C0e-2x+C2， 所以其通解为y=一2e2x+C1ex+C2e3x，其中C1=一C0／2，C2为任意常数．
解析
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考研数学二

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