[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．

admin2019-05-10 48

问题 [2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e^2x的通解为________．

选项

答案求出对应的齐次方程的通解及原方程的一个特解，其和即为所求的通解，也可用凑导数法求之．解一其特征方程为λ²一4λ+3=0，其特征根为λ₁=1，λ₂=3．对应齐次微分方程 y＂一4y′+3y=0的通解为Y=C₁e^x+C₂e^3x．又设非齐次微分方程y＂一4y′+3y=2e^2x的特解为y^*=Ae^2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为 y=Y+y^*=C₁e^x+C₂e^3x一2e^2x， C₁与C₂为任意常数．解二原方程可化为 y＂一3y′一(y′一3y)=(y′一3y)′一(y′一3y)=2e^2x． e^-x(y′一3y)′+(e^-x)′(y′一3y)一2e^x，即 [e^-x(y′一3y)]′=2e^x，故 e^-x(y′一3y)一2e^x+C₀，即 y′一3y=2e^2x+C₀e^x．又 e^-3xy′+(e^-3x)′y=2e^-x+C₀e^-2x，即 (e^-3xy)′=2e^-x+C₀e^-2x，故 e^-3xy=一2e^-x一(1／2)C₀e^-2x+C₂，所以其通解为y=一2e^2x+C₁e^x+C₂e^3x，其中C₁=一C₀／2，C₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y＂－4y′+3y=2e2x的通解为________．

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