2. 考研
  3. 已知三元二次型xTz的平方项系数都为0，α=（1，2，一1）T满足Aα=2α． ①求xTAx的表达式． ②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

已知三元二次型xTz的平方项系数都为0，α=（1，2，一1）T满足Aα=2α． ①求xTAx的表达式． ②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

admin2016-07-29  63
问题 已知三元二次型xTz的平方项系数都为0，α=（1，2，一1）T满足Aα=2α．
①求xTAx的表达式．
②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．
选项
答案[*] 得2a一b=2，a一c=4，b+2c=一2，解出a=b=2，c=一2．此二次型为4x1x2+4x1x3—4x2x3． ②先求A特征值 [*] 于是A的特征值就是2，2，一4．再求单位正交特征向量组．属于2的特征向量是(A一2E)x=0的非零解． [*] 得(A一2E)x=0的同解方程组：x1一x2一x3=0．显然β1：(1，l，0)T是一个解，设第二个解为β2=(1，一l，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化：记η1：β1／||β1||=[*] η2=β2／||β2||=[*] 属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．求出β3=(1，一1，一1)T是一个解，单位化：记 η3=β3／||β3||=[*] 则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一4． 作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q一1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，一4．作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22一4y32．
解析
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考研数学三

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