设f(x)∈C[0,1],f(x)＞0，证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx.

admin2021-11-25 64

问题设f(x)∈C[0,1],f(x)＞0，证明积分不等式：ln∫₀¹f(x)dx≥∫₀¹lnf(x)dx.

选项

答案令g(t)=lnt(t＞0),g"(t)=[*]＜0,再令x₀=∫₀¹f(x)dx,则有 g(t)≤g(x₀)+g’(x₀)(t－x₀)→g[f(x)]≤g(x₀)+g’(x₀)[f(x)－x₀],两边积分得∫₀¹lnf(x)dx≤ln∫₀¹f(x)dx.

解析

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