设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f″(ξ)=—4.

admin2020-02-28  56

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f″(ξ)=—4.

选项

答案转化为证明某函数的二阶导数在(0,2)[*]零点.设 g″(x)= —4.令F(x)=f(x)—g(x)则[*]ξ∈(0,2),使f″(ξ)= —4[*]F″(ξ)=0. 注意g(x)= —2x2+c1x+c2,于是 F(0)=f(0)—g(0)= —c2 , F(1)=f(1)—g(1)=4—c1 —c2 , F(2)=f(2)—g(2)=8—2c1 —c2 . 为使F(0)=F(1)=F(2),取c1=4,c2=0,F(x)=f(x)—g(x)=f(x)—(—2x2+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0.由于函数F(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,因而可在区间[0,1]与[1,2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理,从而知分别存在η1∈(0,1)与η2∈(1,2)使得F′(η1)=F′(η2)=0,由题设知F′(x)在区间[η1,η2]上也满足罗尔定理的条件,再在区间[η1,η2]上对导函数F′(x)应用罗尔定理,又知存在ξ∈(η1,η2)[*](0,2)使得F″(ξ)=f″(ξ)—g″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)= —4成立.

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pWA4777K
0

最新回复(0)