设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-一(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

admin2015-07-10 53

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’₊(a)f’_-一(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

选项

答案不妨设f’₊(a)＞0，f’_-(b)＜0，根据极限的保号性，f’₊(a)=[*]＞0，则存在δ＞0(δ＜b一a)，当0＜x一a＜δ时，[*]，即f(x)＞f(x)，所以存在x₁∈(a，b)，使得f(x₁)＞f(a)．同理由f’_-(b)＜0，存在x₂∈(a，b)，使得f(x₂)＞f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x₁)＞f(a)，f(x₂)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．

解析

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