设A为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵B=(A*)2一4E的特征值为0,5,32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化.

admin2015-07-10  20

问题 设A为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵B=(A*)2一4E的特征值为0,5,32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化.

选项

答案设A的三个特征值为λ1,λ2,λ3,因为B=(A*)2一4E的三个特征值为0,5,32,所以(A*)2的三个特征值为4,9,36,于是A*的三个特征值为2,3,6. 又因为|A*|=36=|A|3-1,所以|A|=6. 由[*],得λ1=3,λ2=2,λ3=1, 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数,所以A-1的特征值为1,[*]. 因为A-1的特征值都是单值,所以A-1可以相似对角化.

解析
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