8支足球队参加单循环比赛，胜者得2分，平者得1分，负者得0分。比赛结束后，8支球队的得分互不相同，且第2名的得分与后4名的得分总和相等，第3名的得分是第5名的两倍，第4名的得分是第6名的两倍。问第1名比第4名多拿了多少分?

admin2015-08-28 52

问题 8支足球队参加单循环比赛，胜者得2分，平者得1分，负者得0分。比赛结束后，8支球队的得分互不相同，且第2名的得分与后4名的得分总和相等，第3名的得分是第5名的两倍，第4名的得分是第6名的两倍。问第1名比第4名多拿了多少分?

选项 A、3
B、4
C、5
D、6

答案D

解析共有C₈²=28场比赛，每场比赛产生2分，故8队得分之和为56分。以下分析中，注意每队得分互不相同。设第5、6、7、8名的得分分别为a、b、c、d，则第2名得分为a+b+c+d，第3名得分为2a，第4名得分为26，则第1名得分为56-(a+b+c+d+2a+2b+a+b+c+d)。又第1名得分大于第2名得分：可知56-(a+b+c+d+2a+2b+a+b+c+d)＞a+b+c+d，化简为5(a+b)+3(c+d)＜56，由于c+d≥1，则5(a+b)＜53，故a+b≤10，又a＞b，则b＜5，且第一名最多胜7场得14分，故b=4，此时a可以为5，6。
若a=6，则第三名成绩为12，第四名成绩为8，第三到六名成绩之和为12+8+6+4=30，则第一名+第二名+第七名+第八名=26，根据题意第二名最低为13，第一名为14，两者之和为27，大于26，显然矛盾，舍去；
若a=5，则第三名成绩为10，第四名成绩为8，第三到六名成绩之和为10+8+5+4=27，则第一名+第二名+第七名+第八名=29，此时可取第一名为14，第二名为12，第七名为2，第八名为1，符合题意。
故第一名比第四名多拿了14-8=6分。

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