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8支足球队参加单循环比赛,胜者得2分,平者得1分,负者得0分。比赛结束后,8支球队的得分互不相同,且第2名的得分与后4名的得分总和相等,第3名的得分是第5名的两倍,第4名的得分是第6名的两倍。问第1名比第4名多拿了多少分?
8支足球队参加单循环比赛,胜者得2分,平者得1分,负者得0分。比赛结束后,8支球队的得分互不相同,且第2名的得分与后4名的得分总和相等,第3名的得分是第5名的两倍,第4名的得分是第6名的两倍。问第1名比第4名多拿了多少分?
admin
2015-08-28
49
问题
8支足球队参加单循环比赛,胜者得2分,平者得1分,负者得0分。比赛结束后,8支球队的得分互不相同,且第2名的得分与后4名的得分总和相等,第3名的得分是第5名的两倍,第4名的得分是第6名的两倍。问第1名比第4名多拿了多少分?
选项
A、3
B、4
C、5
D、6
答案
D
解析
共有C
8
2
=28场比赛,每场比赛产生2分,故8队得分之和为56分。以下分析中,注意每队得分互不相同。设第5、6、7、8名的得分分别为a、b、c、d,则第2名得分为a+b+c+d,第3名得分为2a,第4名得分为26,则第1名得分为56-(a+b+c+d+2a+2b+a+b+c+d)。又第1名得分大于第2名得分:可知56-(a+b+c+d+2a+2b+a+b+c+d)>a+b+c+d,化简为5(a+b)+3(c+d)<56,由于c+d≥1,则5(a+b)<53,故a+b≤10,又a>b,则b<5,且第一名最多胜7场得14分,故b=4,此时a可以为5,6。
若a=6,则第三名成绩为12,第四名成绩为8,第三到六名成绩之和为12+8+6+4=30,则第一名+第二名+第七名+第八名=26,根据题意第二名最低为13,第一名为14,两者之和为27,大于26,显然矛盾,舍去;
若a=5,则第三名成绩为10,第四名成绩为8,第三到六名成绩之和为10+8+5+4=27,则第一名+第二名+第七名+第八名=29,此时可取第一名为14,第二名为12,第七名为2,第八名为1,符合题意。
故第一名比第四名多拿了14-8=6分。
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