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平面上通过一个已知点P(1,4)引一条直线,要使它在两个坐标轴上的截距均大于零,且它们的和为最小,求这条直线的方程.
平面上通过一个已知点P(1,4)引一条直线,要使它在两个坐标轴上的截距均大于零,且它们的和为最小,求这条直线的方程.
admin
2015-06-13
117
问题
平面上通过一个已知点P(1,4)引一条直线,要使它在两个坐标轴上的截距均大于零,且它们的和为最小,求这条直线的方程.
选项
答案
设所求直线为l,其斜率为k,为使l在两坐标轴上的截距均大于零,所以k<0,则直线l的方程为y-4=k(x-1). 它在x轴上的截距为[*],在y轴上的截距为4-k,故两截距之和 [*] 令S’(k)=0,得驻点k=-2(k=2舍去),且S"(-2)=1>0,所以S(-2)为极小值. 因此S(k)只有一个极小值而没有极大值,所以S(-2)为最小值. 于是,所求直线方程为y-4=(-2)(x-1),即2x+y-6=0.
解析
解题关键在于列出S(k)的表达式,用到了平面几何的一些知识,如直线方程和斜率、截距等,解S’(k)=0只有唯一的驻点,由实际意义知最小值存在,可以不必求S"(-2)>0,即可判定S(-2)为最小值.
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高等数学二题库成考专升本分类
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高等数学二
成考专升本
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