平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距均大于零，且它们的和为最小，求这条直线的方程．

admin2015-06-13 74

问题平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距均大于零，且它们的和为最小，求这条直线的方程．

选项

答案设所求直线为l，其斜率为k，为使l在两坐标轴上的截距均大于零，所以k<0，则直线l的方程为y-4=k(x-1)．它在x轴上的截距为[*]，在y轴上的截距为4-k，故两截距之和 [*] 令S’(k)=0，得驻点k=-2(k=2舍去)，且S"(-2)=1>0，所以S(-2)为极小值．因此S(k)只有一个极小值而没有极大值，所以S(-2)为最小值．于是，所求直线方程为y-4=(-2)(x-1)，即2x+y-6=0．

解析解题关键在于列出S(k)的表达式，用到了平面几何的一些知识，如直线方程和斜率、截距等，解S’(k)=0只有唯一的驻点，由实际意义知最小值存在，可以不必求S"(-2)>0，即可判定S(-2)为最小值．

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