设向量组α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,问: α4能否被α1,α2,α3线性表示,证明你的结论.

admin2019-06-30  33

问题 设向量组α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,问:
α4能否被α1,α2,α3线性表示,证明你的结论.

选项

答案α4不能被α1,α2,α3线性表示.证明如下: 用反证法.假设α4可以被α1,α2,α3线性表示,即存在数k1,k2,k3,使得 α4=k1α1+k2α2+k3α3, 由(1),α1可以被α2,α3线性表示,知α4可以被α2,α3线性表示,即α2,α3,α4线性相关,与 已知条件矛盾.故α4不能被α1,α2,α3线性表示.

解析 讨论向量组的线性关系,要准确把握线性相关概念的含义.如α4可以被α1,α2,α3线性表示,即可写出α1,α2,α3线性表达式,在α1可以被α2,α3线性表示的条件下,可推得α4可以被α2,α3线性表示,即α2,α3,α4线性相关.
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