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(Ⅰ)设f(x)连续,证明:∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx; (Ⅱ)求I=sin2xarctanexdx.
(Ⅰ)设f(x)连续,证明:∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx; (Ⅱ)求I=sin2xarctanexdx.
admin
2017-10-23
30
问题
(Ⅰ)设f(x)连续,证明:∫
0
π
xf(sinx)dx=
f(sinx)dx;
(Ⅱ)求I=
sin
2
xarctane
x
dx.
选项
答案
(Ⅰ)令g(x)=xf*sinx),则g(x)在[0,π]上连续,注意到sin(π—x)=sinx,于是g(π一x)=(π—x)f[sin(π—x)]=(π一x)f(sinx),由(*)式可得 [*] (Ⅱ)由于1+cos
2
x=2—sin
2
x,从而可用(Ⅰ)的结果,即 [*]
解析
在定积分∫
0
a
f(x)dx中作换元,令t=a一x可得x:0→a对应t:a→0,且dx=一dt,于是
∫
0
a
f(x)dx=一∫
a
0
f(a一t)dt=∫
0
a
f(a一t)dt=∫
0
a
f(a—x)dx,
从而有 ∫
0
a
f(c)dc=
∫
0
a
[f(x)+f(a一x)]dx. (*)
当(*)式右端的定积分容易计算时,(*)式就是积分∫
0
a
f(x)dx的一个简化计算公式.
在定积分∫
—a
a
f(x)dx中,除f(x)是[一a,a]上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外,当f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式.
首先∫
—a
a
f(x)dx=∫
0
a
f(x)dx+∫
—a
0
f(x)dx,在∫
—a
0
f(x)dx中作换元,令t=一x可得x:一a→0对应t:a→0,且dx=一dt,于是
∫
—a
0
f(x)dx=一∫
a
0
f(—t)dt=∫
0
a
f(—t)dt=∫
0
a
f(一x)dx,
从而有 ∫
—a
a
f(x)dx=∫
0
a
[f(x)+f(一x)]dx. (**)
当(**)式右端的定积分容易计算时,(**)式就是积分∫
—a
a
f(x)dx的一个简化计算公式.
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考研数学三
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