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随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,用X表示原点到该点连线与χ轴正方向的夹角,求X的概率密度.
随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,用X表示原点到该点连线与χ轴正方向的夹角,求X的概率密度.
admin
2018-11-23
73
问题
随机地向半圆0<y<
(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,用X表示原点到该点连线与χ轴正方向的夹角,求X的概率密度.
选项
答案
设比例系数为λ,而点落在半圆这个区域的概率为1,它应等于比例系数λ与半圆面积[*]πa
2
的乘积,即[*]πa
2
λ=1,λ=[*].因此,当0<χ<[*]时,事件{X≤χ}的概率是两个面积之比,其中分母为半圆面积[*]πa
2
;分子面积S是扇形ABC与三角形BOA的面积之和,即 S=[*](2χ+sin2χ). 因此,当0<χ<[*]时, F(χ)=P{X≤χ}=[*](2χ+sin2χ). 综上分析 [*] 所求的X的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一
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