下列结论中正确的是:

admin2018-08-07  46

问题 下列结论中正确的是:

选项 A、如果矩形A中所有顺序主子式都小于零,则A一定为负定矩形
B、设A=(aij)m×n,若aij=aji,且aij>0(i,j=1,2,…,n),则A一定为正定矩形
C、如果二次f(x1,x2,…,xn)中缺少平方项,则它一定不是正定二次型
D、二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+x1x2+x1x3+x2x3所对应的矩阵是

答案C

解析 选项A,所有顺序主子式都小于零,不符合对称矩阵为负定的条件。对称矩阵为负定的充分必要条件是,奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,所以错误。
选项B,实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是,所有特征值都大于零,选项B给出的条件不能满足所有特征值都大于零的条件,所以错误。
选项D,给出的二次型所对应的对称矩阵为所以错误。
选项C,由惯性定理可知,实二次型f(x1,x2,…,xn)=AX经可逆线性变换(或配方法)化为标准型时,在标准型(或规范型)中,正、负平方项的个数是唯一确定的。对于缺少平方项的n元二次型的标准型(或规范型),正惯性指数不会等于未知数的个数行,例如:f(x1,x2)=x1.x2,无平方项,设代入变形f=y12-y22(标准型),其中惯性指数不全为正。所以二次型f(x1,x2)不是正定二次型。
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