2. 考研
  3. 设xOy平面的第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点y′(x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为 (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件； (Ⅱ)求曲线Γ的表达式．

设xOy平面的第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点y′(x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为 (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件； (Ⅱ)求曲线Γ的表达式．

admin2015-12-22  40
问题 设xOy平面的第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点y′(x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为
    (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；
    (Ⅱ)求曲线Γ的表达式．
选项
答案不显含x的二阶方程y″=f(y，y′)的解法是作变量代换[*]，代入方程即可降阶求解． 解 (Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程． Y—y(x)=y′(x)(X—x)， 其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上截距 [*] 又弧段[*]的长度为[*]．由题意得 [*] 这是积分、微分方程．两边对x求导，可化为二阶微分方程： [*] 又由条件[*]及式①，令x=0，得 [*] 因此初值问题为 [*] 方程①与②是等价的． (Ⅱ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y′，并以y为自变量得 [*] 分离变量得到 [*] 两边积分得 [*] 于是 [*] 由[*]时p=1，得c1=0．于是 [*] 将上面两式相减，得 [*] 再积分得 [*] 将坐标点[*]代入式③求得 [*] 则式③即为曲线Γ的表达式．
解析
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考研数学二

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