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设xOy平面的第一象限中有曲线Γ:y=y(x),过点y′(x)>0.又M(x,y)为Γ上任意一点,满足:弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为 (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件; (Ⅱ)求曲线Γ的表达式.
设xOy平面的第一象限中有曲线Γ:y=y(x),过点y′(x)>0.又M(x,y)为Γ上任意一点,满足:弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为 (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件; (Ⅱ)求曲线Γ的表达式.
admin
2015-12-22
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问题
设xOy平面的第一象限中有曲线Γ:y=y(x),过点
y′(x)>0.又M(x,y)为Γ上任意一点,满足:弧段
的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为
(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
(Ⅱ)求曲线Γ的表达式.
选项
答案
不显含x的二阶方程y″=f(y,y′)的解法是作变量代换[*],代入方程即可降阶求解. 解 (Ⅰ)先求出Γ在点M(x,y)处的切线方程. Y—y(x)=y′(x)(X—x), 其中(X,Y)是切线上点的坐标.在切线方程中令Y=0,得x轴上截距 [*] 又弧段[*]的长度为[*].由题意得 [*] 这是积分、微分方程.两边对x求导,可化为二阶微分方程: [*] 又由条件[*]及式①,令x=0,得 [*] 因此初值问题为 [*] 方程①与②是等价的. (Ⅱ)下面求解②.这是不显含x的二阶方程,作变换p=y′,并以y为自变量得 [*] 分离变量得到 [*] 两边积分得 [*] 于是 [*] 由[*]时p=1,得c
1
=0.于是 [*] 将上面两式相减,得 [*] 再积分得 [*] 将坐标点[*]代入式③求得 [*] 则式③即为曲线Γ的表达式.
解析
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考研数学二
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