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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)＝r(A)r＜n，其中＝(A┇b)． (Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有，n－r＋1个线性无关解； (Ⅱ)若，有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．

设A为m×n矩阵，且r(A)＝r(A)r＜n，其中＝(A┇b)． (Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有，n－r＋1个线性无关解； (Ⅱ)若，有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．

admin2014-12-09  108
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)＝r(A)r＜n，其中＝(A┇b)．
(Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有，n－r＋1个线性无关解；
(Ⅱ)若，有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…ξn，的基础解系，η0为AX＝b的特解，显然β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0为AX＝b的一组解，令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋(k0＋k1＋…＋kn-r)η0＝0 上式左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0，因为b≠0时，k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是 k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r 为AX＝0的基础解系，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，于是k0＝0，故β0，β1，…βn-r线性无关. 若γ0，γ1，…γn-r+1为AX＝b的线性无关解，则ξ1＝γ1－γ0，…，ξn-r+1＝γn-r+1－γ0 为AX＝0的解，令k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1＝0，则k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1－(k1＋k2＋…＋kn-r+1)γ0＝0. 因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1＝2＝…＋kn-r+1＝0，即ξ1，ξ2，…ξn-r+1 为AX＝0的线性无关解，矛盾，故方程组AX＝b恰有n－r＋1个线性无关解. (Ⅱ)令[*] 化为AX＝β.因为AX＝β有三个非零解，所以AX＝0有两个非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)＝r(A)＝2 [*]
解析
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考研数学二

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