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设在区间[e,e2]上,数p,q满足条件px+q≥lnx,求使得积分 取得最小值的P,q的值.
设在区间[e,e2]上,数p,q满足条件px+q≥lnx,求使得积分 取得最小值的P,q的值.
admin
2016-09-13
61
问题
设在区间[e,e
2
]上,数p,q满足条件px+q≥lnx,求使得积分
取得最小值的P,q的值.
选项
答案
要使I(p,q)=[*](px+q-lnx)dx最小,直线y=px+q应与曲线y=lnx相切,从而可得到p,q的关系,消去一个参数.通过积分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的极值点P
0
,然后再求出q的值.或将p,q都表示成另一个参数t的函数形式,求出I(t)的极值点后,再求出p,q的值. 设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t,lnt),则有 [*] 于是I(p,q)=I(t)=[*]+lnt-1-lnx)dx=[*](e
4
-e
2
)+(1nt-1)(e
2
-e)-e
2
. 令Iˊ(t)=[*](e
4
-e
2
)+[*](e
2
-e)=0,得唯一驻点t=[*],Iˊˊ(t)>0,所以,t=[*]为极小值点,即最小值点.此时,p
0
=[*],q
0
=ln[*]-1.
解析
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0
考研数学三
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