求解差分方程yx＋1＋3yx＝x.2x．

admin2016-01-25 49

问题求解差分方程y_x＋1＋3y_x＝x.2^x．

选项

答案特征方程为λ＋3＝0，其特征根为λ＝一3，故对应齐次方程的通解为 [*]＝C(一3)^x， C为任意常数．因为b＝2不是特征根，所以可设非齐次方程的特解形式为 [*]＝(A₀＋A₁x)2^x，代入非齐次方程得 [A₀＋A₁(x＋1)]2^x＋1＋3(A₀＋A₁x)2^x＝x.2^x，即 [A₀＋A₁(x＋1)].2＋3(A₀＋A₁x)＝x．比较两端同次幂系数，解之得 [*] 于是所求特解为 [*] 因此原方程的通解为 [*]

解析 f(x)的形式为P_n(x).b^x，P_n(x)为x的n次多项式，而n＝1，b＝2．因特征根λ＝一3≠2，即f(x)的底数b＝2不是特征根，故可设非齐次方程的特解形式为
η^*＝(A₀＋A₁x).2^x．
将其代入非齐次方程后，比较两端同次幂的系数定出常数A₀，A₁即可求得一特解．

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考研数学三

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