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下列结论中正确的是( )。
下列结论中正确的是( )。
admin
2015-10-12
90
问题
下列结论中正确的是( )。
选项
A、如果矩阵A中所有顺序主子式都小于零,则A一定为负定矩阵
B、设A=(a
ij
)
m×n
,若a
ij
=a
ji
,且a
ij
>0(i,j=1,2…,n),则A一定为正定矩阵
C、如果二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)中缺少平方项,则它一定不是正定二次型
D、二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
所对应的矩阵是
答案
C
解析
由惯性定理可知,实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=x
T
Ax经可逆线性变换化为标准型时,其标准型中正、负平方项的个数是唯一确定的。对于缺少平方项的n元二次型的标准形或规范形中正惯性指数不会等于未知数的个数n,所以一定不是正定二次型。
A项,对称矩阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正。
B项,对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶主子式都为正。对于满足题干要求的矩阵
其2阶主子式为负,故其不是正定矩阵。
D项,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
所对应的矩阵为
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