设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：若α，β线性相关，则秩r(A)

admin2012-12-24 104

问题设α,β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置．
证明：
若α，β线性相关，则秩r(A)<2．

选项

答案若α，β线性相关，则3不全为0的k₁，k₂使k₁α+k₂β=O．不妨设k₂≠0，则有β=ka，那么 r(A)=r[αα^T+(kα)(kα)^T]=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤1<2．

解析

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