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设α,β为3维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置. 证明: 若α,β线性相关,则秩r(A)
设α,β为3维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置. 证明: 若α,β线性相关,则秩r(A)
admin
2012-12-24
85
问题
设α,β为3维列向量,矩阵A=αα
T
+ββ
T
,其中α
T
,β
T
分别是α,β的转置.
证明:
若α,β线性相关,则秩r(A)<2.
选项
答案
若α,β线性相关,则3不全为0的k
1
,k
2
使k
1
α+k
2
β=O.不妨设k
2
≠0,则有β=ka,那么 r(A)=r[αα
T
+(kα)(kα)
T
]=r[(1+k
2
)αα
T
]=r(αα
T
)≤1<2.
解析
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考研数学三
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