试确定常数A，B，C的值，使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．

admin2012-02-21 94

问题试确定常数A，B，C的值，使得
e^x(1+Bx+Cx²)=1+Ax+o(x³)，
其中o(x³)是当x→0时比x³高阶的无穷小．

选项

答案把e^x的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 e^x=1+x+1/2x²+1/6x³+ox³，代入经整理可得 e^x(1+Bx+Cx²)-(1+Ax)=(1-A+B)x+(1/2+B+C)x²+(1/6+B/2+C)x³+o(x³)．从而使得e^x(1+Bx+Cx²)=1+Ax+o(x³)成立的充分必要条件是常数A，B，C同时满足1-A+ B=o，1/2+B+C=o与1/6+B/2+C=0，解出即得A=1/3，B=-2/3，C=1/6．

解析

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