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试确定常数A,B,C的值,使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3), 其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.
试确定常数A,B,C的值,使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3), 其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.
admin
2012-02-21
152
问题
试确定常数A,B,C的值,使得
e
x
(1+Bx+Cx
2
)=1+Ax+o(x
3
),
其中o(x
3
)是当x→0时比x
3
高阶的无穷小.
选项
答案
把e
x
的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 e
x
=1+x+1/2x
2
+1/6x
3
+ox
3
, 代入经整理可得 e
x
(1+Bx+Cx
2
)-(1+Ax)=(1-A+B)x+(1/2+B+C)x
2
+(1/6+B/2+C)x
3
+o(x
3
). 从而使得e
x
(1+Bx+Cx
2
)=1+Ax+o(x
3
)成立的充分必要条件是常数A,B,C同时满足1-A+ B=o,1/2+B+C=o与1/6+B/2+C=0,解出即得A=1/3,B=-2/3,C=1/6.
解析
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考研数学三
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