2. 考研
  3. 设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交， 又(β1，β2)=3． (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B=β1β2T，求|B+2E|．

设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交， 又(β1，β2)=3． (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B=β1β2T，求|B+2E|．

admin2022-12-09  71
问题 设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，
又(β1，β2)=3．
(Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关；
(Ⅱ)令B=β1β2T，求|B+2E|．
选项
答案(Ⅰ)令k1α1+k2α2+k3β1=0， 由α1，α2与β1正交及(k1α1+k2α2+k3β1，β1)=0得k3(β1，β1)=0， 再由β1为非零向量得(β1，β1)=|β1|2＞0，从而k3=0， 于是 k1α1+k2α2=0， 再由α1，α2线性无关得k1=k2=0，故α1，α2，β1线性无关． 令[*]则r(A)=2＜3，齐次线性方程组AX=0含一个线性无关的解向量， 由Aβ1=0，Aβ2=0得β1，β2为AX=0的两个非零解，故β1，β2线性相关． (Ⅱ)由B2=3B得B的特征值为0，3， 因为λ1+λ2+λ3=tr(B)=(β1，β2)=3，所以B的特征值为0，0，3， 从而B+2E的特征值为2，2，5， 故|B+2E|=20．
解析
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考研数学三

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