已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

admin2017-12-01 29

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*]，特征方程为｜λE—A｜=(λ一2)(λ²—6λ+9一a²)=0，由标准形可知，A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5。将λ=1代入特征方程，得a²一4=0，由a＞0可知a=2，此时A=[*]。解(λ_iE—A)x=0，得到特征值λ_i(i=1，2，3)对应的特征向量分别为α₁=(0，1，一1)^T，α₂=(1，0，0)^T，α₃=(0，1，1)^T。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α₁，α₂，α₃单位化， [*]。故所用的正交变换矩阵为 Q=[*]。

解析

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考研数学二

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已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

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