设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．证明：对任意的 x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤．

admin2016-03-26 63

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜

(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．证明：对任意的
x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤

．

选项

答案对任意的x∈[0,1]，由勒公式得 f(0)=f(x)一f’(x)x+[*]，其中ξ₁介于0与x之间； f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+[*](1～x)²，其中ξ₂介于x与1之间．两式相减得0=f’(x)+[*]，于是 [*] 由｜[*](x)｜≤1(x∈[0，1])，得｜f’(x)｜≤[*][(1一x)²+x²]，令φ(x)=(1－x)²+x²令φ’(x)=0，得x=[*]，因为φ(0)=φ(1)=1，φ([*])=[*]，所以φ(x)=(1－x)²+x²在[0，1]上的最大值为1，故｜f’(x)｜≤[*]．

解析

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考研数学三

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