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设f(x)在[0,1]上二阶可导,|(x)|≤1(x∈[0,1]),f(0)=f(1).证明:对任意的 x∈[0,1],有|f’(x)|≤.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,|(x)|≤1(x∈[0,1]),f(0)=f(1).证明:对任意的 x∈[0,1],有|f’(x)|≤.
admin
2016-03-26
29
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,|
(x)|≤1(x∈[0,1]),f(0)=f(1).证明:对任意的
x∈[0,1],有|f’(x)|≤
.
选项
答案
对任意的x∈[0,1], 由勒公式得 f(0)=f(x)一f’(x)x+[*],其中ξ
1
介于0与x之间; f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+[*](1~x)
2
,其中ξ
2
介于x与1之间. 两式相减得0=f’(x)+[*],于是 [*] 由|[*](x)|≤1(x∈[0,1]),得|f’(x)|≤[*][(1一x)
2
+x
2
], 令φ(x)=(1-x)
2
+x
2
令φ’(x)=0,得x=[*],因为φ(0)=φ(1)=1,φ([*])=[*],所以φ(x)=(1-x)
2
+x
2
在[0,1]上的最大值为1,故|f’(x)|≤[*].
解析
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考研数学三
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