设n阶矩阵A= (Ⅰ)求A的特征值和特征向量； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

admin2013-10-11 43

问题设n阶矩阵A=

(Ⅰ)求A的特征值和特征向量；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由题设，先由特征值多项式｜A-λE｜=0求A的特征值，即 [*] =[1-λ+(n-1)b](1-λ-b)^n-1，因此A的特征值为λ₁=1+(n-1)b，λ₂=λ₃=…=λ_n=1-b．当b≠0时，对应于λ₁=1+(n-1)b， [*] 不难求出ξ₁=[*]是(A-λ₁E)x=0的基础解系，从而属于λ₁的特征向量为Cξ_n= [*]，其中C为任意非0常数。对应于λ₂=λ₃=…=λ_n=1-b， A-(1-b)E=[*] 易得出基础解系为ξ₂=[*] 从而特征向量为C₂ξ₂+C₃ξ₃+…+C_nξ_n，其中C₂，C₃，…，C_n是不全为0的常数．当b=0时，A=[*]=E，从而A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量． (Ⅱ)由前述已知，当b≠0，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃，…，ξ_n)，则P^-1AP=[*] 而当b=0时，A=E，任取P为可逆矩阵，都有P^-1AP=E．

解析

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考研数学三

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