设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

admin2016-10-26 58

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

选项

答案(定义法，同乘) 对矩阵B按列分块，记B=(β₁，β₂，…，β_n)，若x₁β₁+x₂β₂+…+x_nβ_n=0，用分块矩阵可写成 (β₁，β₂，…，β_n)[*]=0，即Bx=0．用矩阵A左乘上式，并代入AB=E，得x=Ex=ABx=A0=0．所以B的列向量β₁，β₂，…，β_n线性无关．

解析

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