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求函数f(x,y)=xy在由抛物线y=4-x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
求函数f(x,y)=xy在由抛物线y=4-x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
admin
2020-03-08
19
问题
求函数f(x,y)=xy
在由抛物线y=4-x
2
(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案
区域D如图所示: [*] (1)边界L
1
:y=0(0≤x≤2),此时f(x,0)=[*],函数在此边界的最大值为f(0,0)=0,最小值为f(2,0)=[*]。 边界L
2
:x=0(0≤y≤4),则f(0,y)=-y,函数在此边界的最大值为f(0,0)=0,最小值为f(0,4)=-4。 边界L
3
:y=4-x
2
(x≥0),则 [*] 令 [*] 解得[*](舍去),[*]又 [*] 故该函数在此边界的最大值为[*] (2)区域D内部,f(x,y)=[*] 则 [*] 解得x=1,[*] f"
xx
(x,y)=0, f"
xy
(x,y)=1, f"
yy
(x,y)=0, 故AC-B
2
<0,函数在区域D内部不存在极值。综上所述,函数在区域D上的最大值为f(0,0)=0;最小值为f(0,4)=-4。
解析
先画出区域图形,分别分析三个边界和区域内部上的最值,然后对所求出的值进行比较,得出最大值和最小值。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BeS4777K
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考研数学一
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