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随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).
随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).
admin
2018-06-14
45
问题
随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(v).
选项
答案
由于X与Y相互独立且密度函数已知,因此我们可以用两种方法:分布函数法与公式法求出U、V的概率密度. (Ⅰ)分布函数法.由题设知(X,Y)联合概率密度 f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)=[*] 所以U=XY的分布函数为(如图3.3) F
U
(u)=P{XY≤u}=[*]f(x,y)dxdy. 当u≤0时,F
U
(u)=0;当u≥1时,F
U
(u)=1;当0<u<1时, F
U
(u)=∫
0
u
dx∫
0
1
dy+∫
u
1
dx[*]dx=u—ulnu. 综上得 [*] (Ⅱ)分布函数法.由题设知 [*] 所以V=|X—Y|的分布函数F
V
(v)=P{|X—Y|≤v}. 当v≤0时,F
V
(v)=0;当v>0时, F
V
(v)=P{|X—Y|≤v}=P{一v≤X—Y≤v} =[*]f(x,y)dxdy. 由图3.4知,当v≥1时,F
V
(v)=1;当0<v<1时, F
V
(v)=[*]f(x,y)dxdy=D的面积 =1—2×[*]×(1—v)
2
=1一(1—v)
2
, 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1,|x一y|≤v}. 综上得 [*]
解析
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考研数学三
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