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某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x,y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2一2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。
某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x,y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2一2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。
admin
2018-08-06
56
问题
某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x,y(千件),甲厂的月生产成本是C
1
=x
2
一2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C
2
=y
2
+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。
选项
答案
本题为求函数z=f(x,y)=x
2
+y
2
一2x+2y+8在条件x+y一8=0下的条件极值。 方法一:用拉格朗日乘数法 总成本f(x,y)=x
2
+y
2
一2x+2y+8, 约束条件φ(x,y)=x+y一8, 作辅助函数F(x,y)=x
2
+y
2
一2x+2y+8+λ(x+y一8), 令[*],解得x=5,y=3, 由于驻点(5,3)唯一,实际中确有最小值。所以当x=5千件,y=3千件时使总成本最小,最小成本为f(5,3)=38千元。 方法二:化条件极值为无条件极值 总成本为z=f(x,y)=x
2
+y
2
一2x+2y+8, 约束条件x+y一8=0, 将y=8一x代入f(x,y)中,得 z=x
2
+(8一x)
2
一2x+2(8一x)+8 =2x
2
一20x+88 z′
x
=4x一20,令z′
x
=0,得x=5。 因为z″
xx
4>0,所以x=5时z取极小值,又因为极值点唯一,所以x=5时,z取最小值,此时y=3,故x=5千件,y=3千件时,总成本最小,最小成本为:f(5,3)=38千元。
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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