2. 公务员
  3. 已知函数f(χ)＝aχ2＋bχ(a≠0)满足条件：f(－χ＋5)＝f(χ－3)，且方程f(χ)＝χ有等根． (1)求f(χ)的解析式； (2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(χ)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，

已知函数f(χ)＝aχ2＋bχ(a≠0)满足条件：f(－χ＋5)＝f(χ－3)，且方程f(χ)＝χ有等根． (1)求f(χ)的解析式； (2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(χ)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，

admin2015-11-09  55
问题 已知函数f(χ)＝aχ2＋bχ(a≠0)满足条件：f(－χ＋5)＝f(χ－3)，且方程f(χ)＝χ有等根．
    (1)求f(χ)的解析式；
    (2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(χ)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
选项
答案(1)已知f(χ)＝aχ2＋bχ(a≠O)，则有f(0)＝0，f(2)＝4a＋2b． 又因为f(－χ＋5)＝f(χ－3)，令χ＝3，则f(2)＝f(0)＝0，即4a＋2b＝0，得b＝－2a， 又因为f(χ)＝χ有等根，则方程aχ2－2aχ＝χ的两个根χ1＝0与χ2＝[*](a≠0)相等， 即[*]＝0(a≠0)，得a＝－[*]，故b＝－2a＝1， 所以f(χ)＝－[*]χ2＋χ． (2)由(1)可知，f(χ)＝[*]，即函数f(χ)开口向下，对称轴为χ＝1． ①当m＜n≤1时，函数f(χ)在[m，n]上单调递增， 则可令[*]，解得m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4． 又因为n＞m，故n＝0，m＝－4满足题意． ②当n＞m≥1时，函数f(χ)在[m，n]上单调递减， 则可令[*]，化简得到8(m－n)＝(m＋n)(m－n)， 又因为n＞m，故可得到m＋n＝8， 将其代入f(m)＝3，2可得到m2－8m＋48＝0，m无实数解． ③当m＜1＜n时，函数的最大值为[*]，即3n＝[*]，得n＝[*]，这与n＞1不符． 综上所述，存在实数m、n，使得f(χ)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，此时，n＝0，m＝－4．
解析
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