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已知函数f(χ)=aχ2+bχ(a≠0)满足条件:f(-χ+5)=f(χ-3),且方程f(χ)=χ有等根. (1)求f(χ)的解析式; (2)是否存在实数m、n(m<n),使f(χ)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,
已知函数f(χ)=aχ2+bχ(a≠0)满足条件:f(-χ+5)=f(χ-3),且方程f(χ)=χ有等根. (1)求f(χ)的解析式; (2)是否存在实数m、n(m<n),使f(χ)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,
admin
2015-11-09
45
问题
已知函数f(χ)=aχ
2
+bχ(a≠0)满足条件:f(-χ+5)=f(χ-3),且方程f(χ)=χ有等根.
(1)求f(χ)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<n),使f(χ)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m、n的值;若不存在,说明理由.
选项
答案
(1)已知f(χ)=aχ
2
+bχ(a≠O),则有f(0)=0,f(2)=4a+2b. 又因为f(-χ+5)=f(χ-3),令χ=3,则f(2)=f(0)=0,即4a+2b=0,得b=-2a, 又因为f(χ)=χ有等根,则方程aχ
2
-2aχ=χ的两个根χ
1
=0与χ
2
=[*](a≠0)相等, 即[*]=0(a≠0),得a=-[*],故b=-2a=1, 所以f(χ)=-[*]χ
2
+χ. (2)由(1)可知,f(χ)=[*],即函数f(χ)开口向下,对称轴为χ=1. ①当m<n≤1时,函数f(χ)在[m,n]上单调递增, 则可令[*],解得m=0或m=-4,n=0或n=-4. 又因为n>m,故n=0,m=-4满足题意. ②当n>m≥1时,函数f(χ)在[m,n]上单调递减, 则可令[*],化简得到8(m-n)=(m+n)(m-n), 又因为n>m,故可得到m+n=8, 将其代入f(m)=3,2可得到m
2
-8m+48=0,m无实数解. ③当m<1<n时,函数的最大值为[*],即3n=[*],得n=[*],这与n>1不符. 综上所述,存在实数m、n,使得f(χ)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n],此时,n=0,m=-4.
解析
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