已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x＞0，f(x)＜0。又f(1)=-2。求f(x)在区间[-3，3]上的最大值；

admin2015-12-12 28

问题已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x＞0，f(x)＜0。又f(1)=-2。
求f(x)在区间[-3，3]上的最大值；

选项

答案任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0。因此f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁)＜0，故f(x₂)＜-f(-x₁)。又f(x)为奇函数，则f(x₁)＞f(x₂)，f(x)在R上是减函数。所以对任意x∈[-3，3]，恒有f(x)≤f(-3)，而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6，f(-3)=-f(3)=6，故f(x)在[-3，3]上的最大值为6。

解析

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