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设二维随机变量(X,Y)服从均匀分布,其联合概率密度函数为 求Z=X—Y的概率密度函数.
设二维随机变量(X,Y)服从均匀分布,其联合概率密度函数为 求Z=X—Y的概率密度函数.
admin
2016-11-03
73
问题
设二维随机变量(X,Y)服从均匀分布,其联合概率密度函数为
求Z=X—Y的概率密度函数.
选项
答案
Z=X—Y的分布函数为 F
z
(z)=P(Z≤z)=P(X—Y≤z)=[*]f(x,y)dxdy. 因随着z的取值范围不同,区域x—y≤z与f(x,y)的取值非零的区域即正方形区域0≤x≤2,0≤y≤2相交的情况不一样,需分别讨论.因f(x,y)取非零值的定义域的边界点为(0,0),(0,2),(2,2),(2,0),相应地,z=x—y的可能取值为z=0—0=0,z=0—2=-2,z=2—2=0,z=2—0=2.因而z应分下述情况分别求出分布函数:(1)z<-2,(2)一2≤x<0,(3)0≤z<2,(4)z≥2. (1)当z<-2时,区域x—y<z(这时当x=0时,一y<一2,即y>2)与正方形0≤x≤2,0≤y≤2没有公共部分(参见下图),所以 [*] F
z
(z)=[*]0dxdy=0. (2)当一2≤z<0时(这时当x=0时,则一2≤x—y=一y≤0,即0≤y≤2),区域x—y≤z与正方形0≤x≤2,0≤y≤2的公共部分如下图阴影区域所示,则 [*] [*] (3)当0≤z<2时,区域x一y<z与正方形区域0≤x≤2,0≤y≤2的公共部分如下图阴影部分所示,故 [*] [*] (4)当z≥2时,x一y=z≥2,当x=0时,y=-2,当y=0时,x≥2,因而区域x—y<z在x—y=z的上方,它包含整个正方形区域(参见下图),故 [*] F
z
(z)=[*]dy=1. 综上得到 [*] 故 [*]
解析
求二维随机变量(X,Y)函数(尤其是其线性函数)的分布函数常利用其定义求之.求时需对X—Y≤z中z的不同取值情况分别确定f(x,y)不为0的区域与{(x,y)|x—y≤z}的交集.在此交集上进行二重积分,求出分布函数,再求导,即可求得概率密度函数.
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考研数学一
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