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  3. 设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为 求Z=X—Y的概率密度函数．

设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为 求Z=X—Y的概率密度函数．

admin2016-11-03  48
问题 设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为

求Z=X—Y的概率密度函数．
选项
答案Z=X—Y的分布函数为 Fz(z)=P(Z≤z)=P(X—Y≤z)=[*]f(x，y)dxdy． 因随着z的取值范围不同，区域x—y≤z与f(x，y)的取值非零的区域即正方形区域0≤x≤2，0≤y≤2相交的情况不一样，需分别讨论．因f(x，y)取非零值的定义域的边界点为(0，0)，(0，2)，(2，2)，(2，0)，相应地，z=x—y的可能取值为z=0—0=0，z=0—2=－2，z=2—2=0，z=2—0=2．因而z应分下述情况分别求出分布函数：(1)z＜－2，(2)一2≤x＜0，(3)0≤z＜2，(4)z≥2． (1)当z＜－2时，区域x—y＜z(这时当x=0时，一y＜一2，即y＞2)与正方形0≤x≤2，0≤y≤2没有公共部分(参见下图)，所以 [*] Fz(z)=[*]0dxdy=0． (2)当一2≤z＜0时(这时当x=0时，则一2≤x—y=一y≤0，即0≤y≤2)，区域x—y≤z与正方形0≤x≤2，0≤y≤2的公共部分如下图阴影区域所示，则 [*] [*] (3)当0≤z＜2时，区域x一y＜z与正方形区域0≤x≤2，0≤y≤2的公共部分如下图阴影部分所示，故 [*] [*] (4)当z≥2时，x一y=z≥2，当x=0时，y=－2，当y=0时，x≥2，因而区域x—y＜z在x—y=z的上方，它包含整个正方形区域(参见下图)，故 [*] Fz(z)=[*]dy=1． 综上得到 [*] 故 [*]
解析 求二维随机变量(X，Y)函数(尤其是其线性函数)的分布函数常利用其定义求之．求时需对X—Y≤z中z的不同取值情况分别确定f(x，y)不为0的区域与{(x，y)｜x—y≤z}的交集．在此交集上进行二重积分，求出分布函数，再求导，即可求得概率密度函数．
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