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案例: 在等差数列的习题课教学中,教师布置了这样一个问题:等差数列前10项和为100,前100项和为10.求前110项的和。 两位学生的解法如下: 学生甲:设等差数列的首项为a1,公差为d,则 所以S110=110a1+=
案例: 在等差数列的习题课教学中,教师布置了这样一个问题:等差数列前10项和为100,前100项和为10.求前110项的和。 两位学生的解法如下: 学生甲:设等差数列的首项为a1,公差为d,则 所以S110=110a1+=
admin
2017-04-24
50
问题
案例:
在等差数列的习题课教学中,教师布置了这样一个问题:等差数列前10项和为100,前100项和为10.求前110项的和。
两位学生的解法如下:
学生甲:设等差数列的首项为a
1
,公差为d,则
所以S
110
=110a
1
+
=-110。
学生乙:设等差数列{a
n
}前n项和为S
n
=An
2
+Bn,由已知得
解得A=
。
所以S
110
=110
2
×
=-110
针对上述解法,一些学生提出了自己的想法。
学生丙:怎么刚好有S
100
+S
10
=-S
110
呢?这是一种巧合吗?上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?
老师:同学丙所说的规律是否就是:
一般地,在等差数列{a
n
}中,若存在正整数p,q且p≠q,使得S
p
=q,S
q
=p,则S
p
+S
q
=-S
p+q
。 (*)
请同学们进行验证。
问题:
请验证(*)中结论是否成立。
选项
答案
(*)中结论是成立的。 由等差数列的前n项和公式可得: [*] 由于p≠q,联立①②可解得:d=-[*] ④ 则S
p
+S
q
+S
p+q
=a
1
(p+q)+[*] 代入①②得:S
p
+S
q
+S
p+q
=p+q+p+q+[*]2pq=2(p+q)+dpq 代入④可得:S
p
+S
q
+S
p+q
=0 故(*)中结论是成立的。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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