2. 职业资格
  3. 案例： 在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10．求前110项的和。 两位学生的解法如下： 学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则 所以S110＝110a1＋＝

案例： 在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10．求前110项的和。 两位学生的解法如下： 学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则 所以S110＝110a1＋＝

admin2017-04-24  47
问题 案例：
    在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10．求前110项的和。
    两位学生的解法如下：
    学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则

    所以S110＝110a1＋＝－110。
    学生乙：设等差数列{an}前n项和为Sn＝An2＋Bn，由已知得

    解得A＝。
    所以S110＝1102×＝－110
    针对上述解法，一些学生提出了自己的想法。
    学生丙：怎么刚好有S100＋S10＝－S110呢?这是一种巧合吗?上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?
    老师：同学丙所说的规律是否就是：
    一般地，在等差数列{an}中，若存在正整数p，q且p≠q，使得Sp＝q，Sq＝p，则Sp＋Sq＝－Sp+q。    (*)
请同学们进行验证。
    问题：
请验证(*)中结论是否成立。
选项
答案(*)中结论是成立的。 由等差数列的前n项和公式可得： [*] 由于p≠q，联立①②可解得：d＝－[*] ④ 则Sp＋Sq＋Sp+q＝a1(p＋q)＋[*] 代入①②得：Sp＋Sq＋Sp+q＝p＋q＋p＋q＋[*]2pq＝2(p＋q)＋dpq 代入④可得：Sp＋Sq＋Sp＋q＝0 故(*)中结论是成立的。
解析
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