一曲线从原点经过点(1，1)伸向第一象限，曲线从O(0，0)到P(x，y)的一段弧与x轴及过P点平行y轴的直线所围面积等于以OP为对角线且边分别平行坐标轴的矩形面积的．求该曲线方程．

admin2019-01-09 87

问题一曲线从原点经过点(1，1)伸向第一象限，曲线从O(0，0)到P(x，y)的一段弧与x轴及过P点平行y轴的直线所围面积等于以OP为对角线且边分别平行坐标轴的矩形面积的

．求该曲线方程．

选项

答案[*] 依题意可得 ∫₀^xydx=[*]xy，两端对x求导 y=[*](y+xy′)，即xy′=3y，变量分离 [*] 所以lny=3lnx+lnC (C>0)．即y=Cx³．因为x=1，y=1，所以C=1．所求曲线为y=x³ (x>0)．

解析

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计算三重积分，其中积分区域Ω是由x2＋y2＝2，z＝0及z＝2所围成．
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