解微分方程y’’＋5y’＋6y＝2e－x．

admin2021-08-18 17

问题解微分方程y’’＋5y’＋6y＝2e^－x．

选项

答案y’’＋5y’＋6y＝2e^－x． ① Ⅰ．方程①对应的齐次方程的特征方程为r²＋5r＋6＝0，解之得特征根为：r₁＝－2，r₂＝－3．故①对应的齐次方程的通解为Y＝C₁e^－2x＋C₂e^－3x． Ⅱ．方程①的右端项f(x)＝2e^－x，因为λ＝－1非特征根，故可设其特解形式为y^*＝x⁰e^－xA，即y^*＝Ae^－x．将y^*＝Ae^－x，y^*’＝－Ae^－x，y^*’’＝Ae^－x代入①中，有2Ae^－x＝2e^－x，故2A＝2[*]A＝1．故方程①的特解为y^*＝e^－x． Ⅲ．所以方程①的通解为y＝Y＋y^*＝C₁e^－2x＋C₂e^－3x＋e^－x．

解析

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数学

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