2. 考研
  3. 设0≤α≤1．证明：f(x)=xα在[0，+∞)上一致连续．

设0≤α≤1．证明：f(x)=xα在[0，+∞)上一致连续．

admin2022-10-31  45
问题 设0≤α≤1．证明：f(x)=xα在[0，+∞)上一致连续．
选项
答案当α=1时，f(x)=x在[0,+∞)上显然一致连续．当α=0时，结果显然成立． 当0＜α＜1时，由于对[*]x∈[0，1]，(1-x)α+xα≥(1-x)+x=1，即1-xα≤(1-x)α．从而对[*]x1，x2∈[0，+∞)，x1＞x2，有 x1α-x2α=[*]=(x1-x2)α， 因此，[*]x1，x2∈[0，+∞)，小妨设x1＞x2，令(x1-x2)α＜ε．则｜x1-x2｜＜ε1／α，取δ=ε1／α，于是当｜x1-x2｜＜δ时，有｜x1α-x2α｜＜(x1-x2)α＜ε． 因此，f(x)=xα在[0，+∞)上一致连续．
解析
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考研数学三

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