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设飞机以匀速v(v为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行,飞机在(a,0)(a>0)处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2v,方向始终指向飞机,如图所示. 求导弹飞行轨迹y=y(x)的表达式;
设飞机以匀速v(v为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行,飞机在(a,0)(a>0)处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2v,方向始终指向飞机,如图所示. 求导弹飞行轨迹y=y(x)的表达式;
admin
2023-01-04
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问题
设飞机以匀速v(v为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行,飞机在(a,0)(a>0)处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2v,方向始终指向飞机,如图所示.
求导弹飞行轨迹y=y(x)的表达式;
选项
答案
[*] 如图3-2所示,设导弹在t(t≥0)时刻的坐标为P(x(t),y(t)),飞机的位置为Q(a,vt). 依题意,y=y(x)的切线斜率为y’(x)=[*],即 [*] 由式①和式②消去t,得 ∫
0
x
[*]dx=2[y+(a-x)y’] 两边同时对x求导,得 [*] 方程为可降阶的微分方程,不显含y,初始条件为y(0)=0,y’(0)=0. 令y’=p,则y”=p’,方程③化为 [*] 由p(0)=y’(0)=0, [*]
解析
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考研数学一
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