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求一个正交变换,化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形.
求一个正交变换,化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形.
admin
2013-03-29
63
问题
求一个正交变换,化二次型
f=x
1
2
+4x
2
2
+4x
3
2
-4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-8x
2
x
3
为标准形.
选项
答案
二次型的矩阵是[*] 其特征多项式为 [*]=λ
2
(λ-9), 所以A的特征值是λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=9. 对于λ
1
=λ
2
=0,由(0E-A)x=0,即[*] 得到基础解系α
1
=(2,1,0)
T
,α
2
=(-2,0,1)
T
,即为属于特征值A=0的特征向量. 对于λ
3
=9,由(9E-A)x=0,即[*] 得到基础解系α
3
=(1,-2,2)
T
. 由于不同特征值的特征向量已经正交,只需对α
1
,α
2
正交化. β
1
=α
1
=(2,1,0)
T
, β
2
=α
2
-(α
2
β
1
)/(β
1
,β
1
)β
1
=1/5(-2,4,5)
T
. 把β
1
,β
2
,α
3
单位化,有 γ
1
=[*] γ
2
=[*] γ
3
=[*] 那么经正交变换 [*] 二次型f化为标准形f=9y
3
2
.
解析
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0
考研数学三
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