求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形．

admin2013-03-29 28

问题求一个正交变换，化二次型
f=x₁²+4x₂²+4x₃²-4x₁x₂+4x₁x₃-8x₂x₃为标准形．

选项

答案二次型的矩阵是[*] 其特征多项式为 [*]=λ²(λ－9)，所以A的特征值是λ₁=λ₂=0，λ₃=9．对于λ₁=λ₂=0，由(0E-A)x=0，即[*] 得到基础解系α₁=(2，1，0)^T，α₂=(-2，0，1)^T，即为属于特征值A=0的特征向量．对于λ₃=9，由(9E-A)x=0，即[*] 得到基础解系α₃=(1，-2，2)^T．由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对α₁，α₂正交化． β₁=α₁=(2，1，0)^T， β₂=α₂-(α₂β₁)/(β₁,β₁)β₁=1/5(-2,4,5)^T．把β₁，β₂，α₃单位化，有 γ₁=[*] γ₂=[*] γ₃=[*] 那么经正交变换 [*] 二次型f化为标准形f=9y₃²．

解析

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考研数学三

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求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形．

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