(1997年试题，三)计算其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．

admin2021-01-15 33

问题 (1997年试题，三)计算

其中Ω为平面曲线

绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．

选项

答案先明确积分区域Ω的几何特征，为此需求出旋转曲面的方程为x²+y²=2z，该区域在xOy平面上投影为D_xy{(x，y)｜x²+y²≤16}．易看出选取柱坐标计算较为方便，则[*] 解析二与可最后再对z积分，此时需用平行于xDy平面的平面截积分域Ω，截面为D_x={(x，y)｜x²+y²≤2x，0≤x≤8)，同样采用柱坐标计算，有[*]

解析选定坐标系后，适当调换积分顺序，往往使问题会进一步得到简化．

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