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  3. 设函数f(x)＝(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数)，其中函数φ(x)当x＝x0时连续． (1)证明f(x)在点x＝x0处可导； (2)若φ(x)≠0，问函数f(x)在x＝x0处有无极值，为什么?

设函数f(x)＝(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数)，其中函数φ(x)当x＝x0时连续． (1)证明f(x)在点x＝x0处可导； (2)若φ(x)≠0，问函数f(x)在x＝x0处有无极值，为什么?

admin2016-01-25  52
问题 设函数f(x)＝(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数)，其中函数φ(x)当x＝x0时连续．
(1)证明f(x)在点x＝x0处可导；
(2)若φ(x)≠0，问函数f(x)在x＝x0处有无极值，为什么?
选项
答案(1)由于 [*] 即f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝0． (2)由于φ(x)在x＝x0处连续，且φ(x0)≠O，所以φ(x)在点x0的充分小的邻域(x0一δ，x0＋δ)内与φ(x0)同号，于是f(x)的符号只与n的奇偶性有关． ①若n为奇数，则经过x0时，f(x)的值变号，所以在x＝x0处没有极值； ②若n为偶数，则(x—x0)n＞0(x≠x0)． 当φ(x0)＞0，且0＜｜x－x0｜＜δ时，f(x)＝(x－x0)nφ(x)＞0＝f(x0)，所以在x＝x0处有极小值f(x0)． 当φ(x0)＜0，且0＜｜x－x0｜＜δ时，f(x)＝(x－x0)nφ(x)＜0＝f(x0)，所以在x＝x0处有极大值f(x0)．
解析 用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2)．
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考研数学三

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