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设函数f(x)=(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数),其中函数φ(x)当x=x0时连续. (1)证明f(x)在点x=x0处可导; (2)若φ(x)≠0,问函数f(x)在x=x0处有无极值,为什么?
设函数f(x)=(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数),其中函数φ(x)当x=x0时连续. (1)证明f(x)在点x=x0处可导; (2)若φ(x)≠0,问函数f(x)在x=x0处有无极值,为什么?
admin
2016-01-25
66
问题
设函数f(x)=(x—x
0
)
n
φ(x)(n为任意自然数),其中函数φ(x)当x=x
0
时连续.
(1)证明f(x)在点x=x
0
处可导;
(2)若φ(x)≠0,问函数f(x)在x=x
0
处有无极值,为什么?
选项
答案
(1)由于 [*] 即f(x)在x=x
0
处可导,且f′(x
0
)=0. (2)由于φ(x)在x=x
0
处连续,且φ(x
0
)≠O,所以φ(x)在点x
0
的充分小的邻域(x
0
一δ,x
0
+δ)内与φ(x
0
)同号,于是f(x)的符号只与n的奇偶性有关. ①若n为奇数,则经过x
0
时,f(x)的值变号,所以在x=x
0
处没有极值; ②若n为偶数,则(x—x
0
)
n
>0(x≠x
0
). 当φ(x
0
)>0,且0<|x-x
0
|<δ时,f(x)=(x-x
0
)
n
φ(x)>0=f(x
0
),所以在x=x
0
处有极小值f(x
0
). 当φ(x
0
)<0,且0<|x-x
0
|<δ时,f(x)=(x-x
0
)
n
φ(x)<0=f(x
0
),所以在x=x
0
处有极大值f(x
0
).
解析
用导数定义证明(1);用极值的定义证明(2).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DKU4777K
0
考研数学三
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