2. 考研
  3. 设奇函数f（x）在[—1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明： （Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f’（ξ）=1； （Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f’（η）=1。

设奇函数f（x）在[—1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明： （Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f’（ξ）=1； （Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f’（η）=1。

admin2017-12-29  39
问题 设奇函数f（x）在[—1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：
（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f’（ξ）=1；
（Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f’（η）=1。
选项
答案（Ⅰ）令F（x）=f（x）—x，F（0）=f（0）=0，F（1）=f（1）—1=0，则由罗尔定理知，存在ξ∈（0，1）使得F’（ξ）=0，即f’（ξ）=1。 （Ⅱ）令G（x）=ex[f’（x）—1]，由（Ⅰ）知，存在ξ∈（0，1），使G（ξ）=0，又因为f（x）为奇函数，故f’（x）为偶函数，知G（一ξ）=0，则存在η∈（一ξ，ξ）[*]（—1，1），使得G’（η）=0，即eη（f’（η）—1）+eη"（η）=0，f"（η）+f’（η）=1。
解析
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考研数学三

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