设A为n阶矩阵，且满足4(A－E)2=(A+2E)2，则矩阵A，A－E，A－2E，A－3E中必定可逆的矩阵个数为( )．

admin2019-06-11 72

问题设A为n阶矩阵，且满足4(A－E)²=(A+2E)²，则矩阵A，A－E，A－2E，A－3E中必定可逆的矩阵个数为( )．

选项 A、4
B、3
C、2
D、1

答案B

解析将方程展开并整理为A²－4A=O，从而有A(A－4E)=O，推得
|A||A－4E|=0．
同理，有(A－E)(A－3E)=3E，推得|A－E||A－3E|≠0；
(A－2E)²=4E，推得|A－2E|≠0．
可以确定|A－E|≠0，|A－2E|≠0，|A－3E|≠0，即矩阵A－E，A－2E，A－3E必定可
逆，但无法判断矩阵A是否可逆，故选B．

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