设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．

admin2017-06-08 68

问题设α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，其中α₁，α₂，…，α_s是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_t线性无关．

选项

答案用定义法证．设c₁Aβ₁+c₂Aβ₂+…+c_tAβ_t=0．则A(c₁β₁+c₂β₂+…+c_tβ_t)=0即c₁β₁+c₂β₂+…+c_tβ_t是AX=0的一个解．于是它可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示： c₁β₁+c₂β₂+…+c_tβ_t=t₁α₁+t₂α₂+…+t_sα_s，再由α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，得所有系数都为0．

解析

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