2. 自考
  3. 设A、B为n阶方阵，且A+B=AB，试证： (1)A—E可逆，(2)AB=BA.

设A、B为n阶方阵，且A+B=AB，试证： (1)A—E可逆，(2)AB=BA.

admin2018-09-07  41
问题 设A、B为n阶方阵，且A+B=AB，试证：
(1)A—E可逆，(2)AB=BA.
选项
答案(1)由A+B=AB， 得 AB—A—B+E=E， 即 A(B—E) —(B—E)=(A—E)(B—E)=E， 故 A—E可逆，且(A—E) -1=B—E． (2)由上一题知，A—E与B—E互为逆矩阵，于是由逆矩阵定义知 (A—E)(B一E)=AB—A—B+E =(B—E)(A—E) =BA一B一A+E． 即 AB=BA．
解析
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